Original

Original

a(t)

v(t)

s(t)

abs(a)

AUC_v

v_m

Textanalyse − 11/2

Version Stand
21.03.2019
Andreas Jäger

Stand

{s(t)\over 50 m}

{v(t)\over {m\over s}}

{v_m\over {m\over s}}

Σf(x)Δx

t\over s

{v\over{m\over s }}

{a\over{m\over s^2}}

{s\over 50\ m}

Modellierung

soll

n =

1.3.0

0.0

1.2

Φ

Modellierung

Aufgabe \ 1.3.0\cr
Die \ in \ der \ Aufgabe \ graphisch\ dargestellte \ Kurve \ lässt \ sich \ durch \ die \cr
Funktionsgleichung\cr

v(t) = \Biggl\{^{60{m\over s} - 60{m\over s}\cdot e^{-0,17 {t\over s}}\ für \ 0≤t≤50 s}_{5,0 {m\over s} + 55{m\over s}\cdot e^{-0,34 {1\over s} (t-50 s)} \ für \ 50s<t≤120s}\cr
darstellen. \ Siehe \ auch \ \underline{Modellierung}

Modellierung
Durch geeignetes Verschieben der beiden roten Punkte kann die die blaue 
Geschwindigkeitskurve so modellieren, dass Sie die Geschwindigkeitskurve aus
der Aufgabenstellung erhalten.

1.3.1

Aufgabe 1.3.1
Dargestellt ist die Ortskurve s=s(t) in einem t-s-Diagramm. Auf der Ordinate sind 
die Ortspunkte nochmals (grün) dargestellt. Links sehen Sie die Graphik 
aus der Aufgaben-Vorlage. Durch Verschieben des roten Punktes können Sie die 
tatsächlichen (grünen) Ortspunkte mit der Vorlage abgleichen.

1.3.2a

Aufgabe \ 1.3.2a\cr
Die \ rosa \ dargestellte \ Kurve \ gibt \ den \ Graphen \ einer \  Bewegung\  mit \  konstanter \ \cr
Geschwindikgeit \ an. \ Teilt \ diese \ Gerade \ die \ hellblau \ unterlegte \ Fläche \ unter \cr 
der \ Geschwindigkeitskurve \ (AUC_v: \ dunkelblau) \ im \ Verhältnis \ 1÷1,\ gibt \ sie \cr
den  \ Graphen \ der \ mittleren \ Geschwindigkeit \ v_{m} \ an.

Wählen Sie eine Teilaufgabe aus

1.3.2b

Aufgabe 1.3.2b
Im Zeitraum von 50 s ≤ t ≤ 60 s nimmt die Geschwindigkeit ab und der Betrag |a| wird kleiner.

1.3.3

Aufgabe \ 1.3.3\cr

Dargestellt \ ist die \ Beschleunigungskurve \ a(t) \ = \ {d\over dt} v(t) \ (violette \ Kurve).\cr 

Abbremsung \ findet \ nur \ dann \ statt, \ wenn \ a=a(t) < 0. \ Das \ ist \ nur \ ab \ dem \ Zeitpunkt \ t≈50\  s 
\ der \ Fall. \cr
 In \ diesem \ Intervall \ besitzt \ |a(t)| \ seinen \ höchsten \ Wert \ bei \ t≈50\ s \ (Öffnen \ des \ Fallschirmes).\cr
Somit \ ist \ die \ Abbremsung \ des \ Springers \  zum \ Zeitpunkt \ des \ Öffnens \ des \ Fallschirmes \ am \ größten.

1.3.4

Zusatzaufgabe 1

Zusatzaufgabe 2

Text

Modellierung

Zusatzaufgabe 1
Durch Erhöhung der Anzahl der Untersummanden wird 
die Untersumme als Schätzung für die Ortskurve s(t)
genauer.

1000

2000

3000

{t\over s}

{s\over m}

Animation

t/s  =

50 s

<

>

Animation der Fallbewegung

v_1(t) = 60 - (60 * ℯ^((-0.165 * t)))
v_2(t) = 5 + (55 * ℯ^((-0.341 * (t - 50))))
vv(t) = If[0 ≤ t ≤ 50, v_1, v_2]
n: 10
ddtt: 119.99999 / n
v(t) = If[0 ≤ t ≤ 50, v_1(t), If[t ≤ 120, v_2(t)]]
A = (-11.766319329242748, -11.628258026301417)
yC = 80.6605074571075
C: (x(A), yC)
xB = 135.72783296752405
B: (xB, y(A))
E: (0, 0)
s_1(t) = (342.67 * ℯ^((-0.175 * t))) + (60 * t) - 342.67
s_2(t) = 2568.64 - ((4.086 * 10^(9)) * ℯ^((-0.34095 * t))) + (5 * t)
a_1(t) = v_1'(t)
a_2(t) = v_2'(t)
a(t) = If[0 ≤ t ≤ 50, a_1, If[t ≤ 120, a_2]]
bOriginal: false
s(t) = If[0 ≤ t ≤ 50, s_1, If[t ≤ 120, s_2]] / 50
t_{11} = 0 (slider from 0 to 50, step 0.1)
T_{12}: 50
T11: (t_{11}, 0)
t_{12} = 50 (slider from 0 to 50, step 0.1)
T12: (t_{12}, 0)
int_1 = Integral(v, t_{11}, t_{12})
t_{21} = 50 (slider from 50 to 120, step 0.1)
t_{22} = 120 (slider from 50 to 120, step 0.1)
T21: (t_{21}, 0)
T22: (t_{22}, 0)
int_2 = Integral(v_2, t_{21}, t_{22})
dt_1: abs(t_{12} - t_{11})
dt_2: abs(t_{22} - t_{21})
v_m: (int_1 + int_2) / (dt_1 + dt_2)
f = Segment((Min[t_{11}, t_{12}], v_m), (Max[t_{21}, t_{22}], v_m))
a_a(t) = abs(a(t))
b_a: false
b: false
c: false
babs: false
d: false
e: true
g = false
dt: 10
n1: round((n * 50 / 120))
n2: round((n * 70 / 120))
h: false
Text5: "{" + (LaTeX[If[babs, "|"]]) + "a(t)" + (LaTeX[If[babs, "|"]]) + "\over {m\over s^2}}"
x01: 5
y01: 40
X01: (x01, y01)
v001(t) = If[0 ≤ t ≤ 50, 60 - (60^(1 - t / x01) * ((-(1 / (-60 + y01))))^((-(t / x01))))]
vv00: v001(50)
x02: 60
y02: 20
X02: (x02, y02)
v002(t) = If[50 ≤ t ≤ 120, 5 + ((-5 + vv00) * ((-5 + vv00) / (-5 + y02))^((-((-50 + t) / (-50 + x02)))))]
i: false
Eingabefeld1 = Textfield(n)
Text17: "x_1 = " + (LaTeX[x01]) + "\cr
y_1 = " + (LaTeX[y01]) + ""
Text18: "x_2 = " + (LaTeX[x02]) + "\cr
y_2=" + (LaTeX[y02]) + ""
xb = 38.711909960632426 (slider from 0.001 to 50, step 0.001)
XB: (xb, 0)
XXB: (xb, v_1(xb))
j = Segment((0, 0), XXB)
bMit: false
Text7: "s_1 =  " + (LaTeX[abs(int_1)]) + "\ m"
Text8: "s_2 = " + (LaTeX[abs(int_2)]) + "\ m"
Text9: "s = s_1 + s_2 =\underline{ " + (LaTeX[abs(int_1) + abs(int_2)]) + "\ m}"
Text19: "a_{mittel} = {\Delta v\over \Delta t} = {" + (LaTeX[v_1(xb)]) + " {m\over s}\over " + (LaTeX[xb]) + "\ s}= " + (LaTeX[Slope[j]]) + "\ {m\over s^2}"
PListe_2 = Sequence((t, s(t)), t, 0, 120, 10)
PListe_1 = Sequence((0, s(t)), t, 0, 120, 10)
D: (0, -5)
F: (19.8, y(D))
y131: 2
yyyy131 = 39.00688307929305 (slider from 0 to 70, step 0.01)
G: (-5, yyyy131)
k = Segment(G, G + (30, 0))
Vieleck1, l, m, p, q = Polygon((50, 0), (60, 0), (60, 70), (50, 70))
H: (50.1, a(50.01))
int_3 = Integral(v_2, 50, 120)
US_3 = LowerSum(v_2, 50, 120, n)
US = LowerSum(vv, 0, 120, n)
dn: 120 / n
L00 = Sequence((i, v(i)), i, 0, 50 - ddtt, ddtt)
L01 = Sequence((i, v(i + ddtt)), i, Max[x(L00) + ddtt], 120 - ddtt, ddtt)
L0 = Join({L00, L01})
SS00 = Sequence(((i * ddtt), (ddtt * Sum[y(L0), i] / 50)), i, 1, n)
SSS00 = Join({{(0, 0)}, SS00})
o = Spline(SSS00, 3)
Text10: "h_{Hub,∫}=" + (LaTeX[(50 * s(120))]) + "\ m"
Text11: "h_{Hub,Σ}= " + (LaTeX[(50 * Max[y(SS00)])]) + "\ m"
I: (120, s(120))
J: (120, Max[y(SS00)])
bT = false
Text20: "Aufgabe 1.2:
Bewegen Sie den roten Punkt zwischen den Werten t≈0 s  und t=50 s. Die grüne Strecke gibt
den Verlauf der Geschwindigkeitskurve wieder, wenn der Fallschirmspringer mit konstanter Be-
schleunigung a_{mittel} nach t=" + xb + " s die Endgeschwindigkeit " + (v_1(xb)) + " m/s erreicht hat.
Die Steigung dieser grünen Strecke entspricht der mittleren Beschleunigung."
Text12: "t = " + xb + " s"
Text30: "Zusatzaufgabe 2
Durch Erhöhung der Anzahl der Untersummanden wird die
Untersumme als Schätzung " + ((50 * Max[y(SS00)])) + "  m für die Flughöhe 
genauer."
t_0 = 0 (slider from 0 to 120, step 0.01)
xa = Vector((30, 110), (230, 110))
ya = Vector((30, 110), (30, 10))
HS1: (30, 110)
HS2: (30 + (200 / 120 * t_0), 110)
FS1: (30, 110 - (100 * s(t_0) / s(120)))
FS2: (30 + (200 / 120 * t_0), 110 - (100 * s(t_0) / s(120)))
Text31: "t=" + (LaTeX[t_0]) + "\ s\cr
h_{Boden}(t) = " + (LaTeX[(50 * (s(120) - s(t_0)))]) + "\ m\cr
\Delta x_{FS↔HS} = " + (LaTeX[(50 * s(t_0))]) + "\ m\cr
v(t) = " + (LaTeX[v(t_0)]) + "\ {m\over s}\cr
a(t) = " + (LaTeX[a(t_0)]) + "\ {m\over s^2}"
FS3: FS2
Text35: "" + ((s(120) * 50) - 400) + ""
PPX1: (30, 110 - (2 * 3000 / s(120)))
PPX2: (30, 110 - (2 * 2000 / s(120)))
PPX3: (30, 110 - (2 * 1000 / s(120)))
PPX4: (30, 110 - (2 * 2769 / s(120)))
Vieleck2, r, f_1, g_1, h_1 = Polygon((30, 10), (30, 110), (230, 110), (230, 10))
Eingabefeld2 = Textfield(t_0)
fff(t) = If[t ≤ 30 + (200 / 120 * t_0), 110 - (100 * s((120 / 200 * (t - 30))) / s(120))]
ffff(t) = 110 - (100 * s((120 / 200 * (t - 30))) / s(120))
TTT1: (30 + (20 * 200 / 120), 110)
TTT2: (30 + ((2 * 20) * 200 / 120), 110)
TTT3: (30 + ((3 * 20) * 200 / 120), 110)
TTT4: (30 + ((4 * 20) * 200 / 120), 110)
TTT5: (30 + ((5 * 20) * 200 / 120), 110)
Text28: "Aufgabe 1.3.4
Die hellgrün markierte Fläche unter der Geschwindigkeitskurve im t-v-Diagramm für 
50 s≤ t ≤ 120 s entspricht der Strecke s_0, die der Fallschirmspringer bei geöffnetem 
Fallschirm zurücklegt. Es muss abgeschätzt werden, ob  diese Fläche größer oder 
kleiner als 400 m ist.
Dazu kann  man die Fläche unter der Kurve (“Aera  under Curve”, kurz AUC) in Streifen 
einteilen und jeden dieser Streifen in Rechtecke, die unterhalb der Geschwindigkeits-
kurve liegen (dunkelgrüne Rechteckle). Die Summe Σ dieser Rechteckflächen ist kleiner 
als die AUC. Gilt   400 m < Σ < AUC = s_0, dann wurde der Fallschirm vom Springer geöffnet.

Durch Variieren der Anzahl n der Streifen lässt sich die Genauigkeit der Abschätzung Σ für die
AUC verändern:
Σ = " + US_3 + " m (AUC = " + int_3 + ")."